Алгебра Примеры

$2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log (x) - 2 \log (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) - 2 \log (x + 1) = 0$

Этап 2.1.1.2

Упростим $- 2 \log (x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) - \log ({(x + 1)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\log (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = 10^{0} ({(x + 1)}^{2})$

Этап 5

Упростим $10^{0} ({(x + 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} = 1 {(x + 1)}^{2}$

Этап 5.1.2

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 5.1.3

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} = (x + 1) (x + 1)$

Этап 5.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + x + 1$

Этап 5.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x^{2} = 2 x + 1$

Этап 6.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x^{2} - 2 x = 1$

Этап 6.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$0 - 2 x = 1$

Этап 6.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x = 1$

Этап 7

Разделим каждый член $- 2 x = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- 2 x = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$ истинным.

$Нет решения$