Алгебра Примеры

$x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ , $2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ в $x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - y - 1 = - x^{3}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y - 1 = - x^{3} - 2 x^{2}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.1.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ в виде $- (- 2 x^{2})$ .

$y = x^{3} - (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.6

Разделим $1$ на $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $2 - y + x - x^{2} = 0$ на $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ .

$2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - x^{3} - (2 x^{2}) + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - 2 x^{2} + 3 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2.1.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

$- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- x^{3} - 3 x^{2}) + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 3$ .

$(- x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(- x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(- x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3

Приравняем $- x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $- x - 3$ к $0$ .

$- x - 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3.2

Решим $- x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- x = 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ на $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Этап 4.2.1.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $2$ на $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $- 27$ и $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Этап 4.2.1.2.2

Вычтем $1$ из $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ на $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Этап 5.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Этап 5.2.1.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Этап 5.2.1.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ на $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Этап 6.2.1.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим $2$ на $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Этап 6.2.1.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Добавим $- 27$ и $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Этап 6.2.1.2.2

Вычтем $1$ из $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ на $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Этап 7.2.1.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Этап 7.2.1.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Этап 7.2.1.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ на $1$ .

$y = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим ${(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Этап 8.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = 1$

Этап 8.2.1.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

Этап 8.2.1.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$y = 3 - 1$

$x = 1$

Этап 8.2.1.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

Этап 9

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 3, - 10)$

$(- 1, 0)$

$(1, 2)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(- 3, - 10), (- 1, 0), (1, 2)$

Форма уравнения:

$x = - 3, y = - 10$

$x = - 1, y = 0$

$x = 1, y = 2$

Этап 11