Алгебра Примеры

$\sqrt{x - 2} - \sqrt{2 x} = \sqrt{x + 2}$

Этап 1

Добавим $\sqrt{2 x}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 2)}^{1} = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x - 2 = {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})}^{2}$ в виде $(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x}) (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})$ .

$x - 2 = (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x}) (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x}) (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = \sqrt{x + 2} (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x + 2}$ в степень $1$ .

$x - 2 = {\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x + 2}$ в степень $1$ .

$x - 2 = {\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 2 = {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 2 = {\sqrt{x + 2}}^{2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ в виде $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 2 = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x - 2 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 2 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x - 2 = {(x + 2)}^{1} + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{x + 2} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + {(2 x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.6.5

Упростим.

$x - 2 = x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)} + 2 x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$x - 2 = 3 x + 2 + \sqrt{(x + 2) \cdot 2 x} + \sqrt{2 x (x + 2)}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{(x + 2) \cdot 2 x}$ и $\sqrt{2 x (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.3.1

Перенесем $x + 2$ .

$x - 2 = 3 x + 2 + \sqrt{2 x (x + 2)} + \sqrt{2 x (x + 2)}$

Этап 3.3.1.3.3.2

Добавим $\sqrt{2 x (x + 2)}$ и $\sqrt{2 x (x + 2)}$ .

$x - 2 = 3 x + 2 + 2 \sqrt{2 x (x + 2)}$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{2 x (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 x + 2 + 2 \sqrt{2 x (x + 2)} = x - 2$ .

$3 x + 2 + 2 \sqrt{2 x (x + 2)} = x - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{2 x (x + 2)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$2 + 2 \sqrt{2 x (x + 2)} = x - 2 - 3 x$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{2 x (x + 2)} = x - 2 - 3 x - 2$

Этап 4.2.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$2 \sqrt{2 x (x + 2)} = - 2 x - 2 - 2$

Этап 4.2.4

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$2 \sqrt{2 x (x + 2)} = - 2 x - 4$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{2 x (x + 2)})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x (x + 2)}$ в виде ${(2 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(2 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 {(2 x \cdot x + 2 x \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

${(2 {(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

${(2 {(2 x^{2} + 2 x \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

${(2 {(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Применим правило умножения к $2 {(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${({(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(2 x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(2 x^{2} + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Упростим.

$4 (2 x^{2} + 4 x) = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x^{2}) + 4 (4 x) = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.9.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{2} + 4 (4 x) = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.9.2

Умножим $4$ на $4$ .

$8 x^{2} + 16 x = {(- 2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 2 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- 2 x - 4)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$8 x^{2} + 16 x = (- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 16 x = - 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 16 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 16 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} + 16 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{2} + 16 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{2} + 16 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 16 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 16 x = 4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 x^{2} + 16 x = 4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$8 x^{2} + 16 x = 4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$8 x^{2} + 16 x = 4 x^{2} + 16 x + 16$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} = 16 x + 16$

Этап 7.1.2

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x = 16$

Этап 7.1.3

Объединим противоположные члены в $8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вычтем $16 x$ из $16 x$ .

$8 x^{2} - 4 x^{2} + 0 = 16$

Этап 7.1.3.2

Добавим $8 x^{2} - 4 x^{2}$ и $0$ .

$8 x^{2} - 4 x^{2} = 16$

Этап 7.1.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$4 x^{2} = 16$

Этап 7.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = 16$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 16$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $16$ на $4$ .

$x^{2} = 4$

Этап 7.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 7.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 7.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 7.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x - 2} - \sqrt{2 x} = \sqrt{x + 2}$ истинным.

$Нет решения$