Алгебра Примеры

$4 x^{7} - 4 x^{3} = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $4 x^{7} - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $4 x^{7}$ .

$4 x^{3} (x^{4}) - 4 x^{3} = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$4 x^{3} (x^{4}) + 4 x^{3} (- 1) = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $4 x^{3} (x^{4}) + 4 x^{3} (- 1)$ .

$4 x^{3} (x^{4} - 1) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x^{3} ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Этап 1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x^{3} ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$4 x^{3} ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x^{3} ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Этап 1.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 x^{3} ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Этап 1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x^{3} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x^{3} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{3} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, i, - i, - 1, 1$