Алгебра Примеры

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{s^{2} - r^{2}} + \frac{r}{s - r}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = s$ и $b = r$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{r + 3 s}{s + r}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} \cdot \frac{s - r}{s - r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{r + 3 s}{s + r}$ на $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{(r + 3 s) (s - r)}{(s + r) (s - r)} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(r + 3 s) (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(r + 3 s) (s - r)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r (s - r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{r s - r \cdot r + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перенесем $r$ .

$\frac{r s - (r \cdot r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Перенесем $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 (s \cdot s) + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $s$ на $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 \cdot - 1 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} - 3 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 s r$ из $r s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} + r s - 3 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $3 r s$ из $r s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} - 2 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.3

Вычтем $3 s^{2}$ из $3 s^{2}$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s + 0}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.4

Добавим $- r^{2} - 2 r s$ и $0$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $r$ из $- r^{2} - 2 r s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $r$ из $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $r$ из $- 2 r s$ .

$\frac{r (- r) + r (- 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $r$ из $r (- r) + r (- 2 s)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Этап 5

Чтобы записать $\frac{r}{s - r}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r} \cdot \frac{s + r}{s + r}$

Этап 6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(s + r) (s - r)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{r}{s - r}$ на $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s - r) (s + r)}$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $(s - r) (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{r (- r - 2 s) + r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $r$ из $r (- r - 2 s) + r (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s + s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Этап 8.2

Добавим $- r$ и $r$ .

$\frac{r (- 2 s + s + 0)}{(s + r) (s - r)}$

Этап 8.3

Добавим $- 2 s + s$ и $0$ .

$\frac{r (- 2 s + s)}{(s + r) (s - r)}$

Этап 8.4

Добавим $- 2 s$ и $s$ .

$\frac{r \cdot - 1 s}{(s + r) (s - r)}$

Этап 8.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- r s}{(s + r) (s - r)}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{r s}{(s + r) (s - r)}$