Алгебра Примеры

$f (x) = 6 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 6 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $6 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 = 0$ .

$6 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$2 (3 x) + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (3 x) + 2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$2 (3 x) + 2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (3 x) + 2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 x^{3}$ .

$2 (3 x + x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x + x^{3}) + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (3 x + x^{3} - 2 x^{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x + x^{3} - 2 x^{2}) + 2 \cdot - 2$ .

$2 (3 x + x^{3} - 2 x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 1.2.2.3.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 + 3 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.7

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 - 2$

Этап 1.2.2.3.1.3.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 1.2.2.3.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2}{x - 1}$

Этап 1.2.2.3.1.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.2.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.2.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.2.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.2.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Этап 1.2.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 1.2.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 1.2.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x + 2$

Этап 1.2.2.3.1.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$2 ((x - 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} - x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} - x + 2$ к $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} - x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(1, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 6 (0) + 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 6 (0) + 2 \cdot 0^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 6 (0) + 2 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0^{2} - 4$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 6 (0) + 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2.4

Упростим $6 (0) + 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 4 {(0)}^{2} - 4$

Этап 2.2.4.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 4 \cdot 0 - 4$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 4$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 4$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 4$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 4$

Этап 2.2.4.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$y = - 4$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 4)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 4)$

Этап 4