Алгебра Примеры

$x^{2} - a^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 a b - b^{2}$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Этап 2.2

Перепишем многочлен.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Этап 2.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = y$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

${(x + y)}^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $- b^{2}$ и $2 a b$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 a b$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 (a b) - b^{2}$

Этап 3.1.4

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

${(x + y)}^{2} - a^{2} + (1 + 1) (a b) - b^{2}$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 1 (a b) + 1 (a b) - b^{2}$

Этап 3.1.6

Умножим $a b$ на $1$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + a b + 1 (a b) - b^{2}$

Этап 3.1.7

Умножим $a b$ на $1$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + a b + a b - b^{2}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

${(x + y)}^{2} + (- a^{2} + a b) + a b - b^{2}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

${(x + y)}^{2} + a (- a + b) - b (- a + b)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- a + b$ .

${(x + y)}^{2} + (- a + b) (a - b)$

Этап 4

Перепишем $(a - b) (a - b)$ в виде ${(a - b)}^{2}$ .

${(x + y)}^{2} - {(a - b)}^{2}$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x + y$ и $b = a - b$ .

$(x + y + a - b) (x + y - (a - b))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + y + a - b) (x + y - a - - b)$

Этап 6.2

Умножим $- - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(x + y + a - b) (x + y - a + 1 b)$

Этап 6.2.2

Умножим $b$ на $1$ .

$(x + y + a - b) (x + y - a + b)$