Алгебра Примеры

$\sqrt{4 x + 97} > 2 x - 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{4 x + 97}}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 97}$ в виде ${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x + 97)}^{1} > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$4 x + 97 > {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$4 x + 97 > (2 x - 1) (2 x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 97 > 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$4 x^{2} - 4 x + 1 < 4 x + 97$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x < 97$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x^{2} - 8 x + 1 < 97$

Этап 3.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} - 8 x + 1 = 97$

Этап 3.4

Вычтем $97$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 1 - 97 = 0$

Этап 3.5

Вычтем $97$ из $1$ .

$4 x^{2} - 8 x - 96 = 0$

Этап 3.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 8 x - 96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 8 x - 96 = 0$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 96 = 0$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 96$ .

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Этап 3.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ .

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24$ .

$4 (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Этап 3.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 2$ .

$- 6, 4$

Этап 3.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Этап 3.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 6) (x + 4) = 0$

Этап 3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.8

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.9

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.9.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 6) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 6, - 4$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{4 x + 97} - 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 x + 97}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x + 97 \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $97$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 97$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 97$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 97$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 97}{4}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{97}{4}$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{97}{4}, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{97}{4}$

$- \frac{97}{4} < x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{97}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{97}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 27$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 27$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 (- 27) + 97} > 2 (- 27) - 1$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{97}{4} < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{97}{4} < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 (- 6) + 97} > 2 (- 6) - 1$

Этап 6.2.3

Левая часть $8.54400374$ больше правой части $- 13$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 (0) + 97} > 2 (0) - 1$

Этап 6.3.3

Левая часть $9.8488578$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 (8) + 97} > 2 (8) - 1$

Этап 6.4.3

Левая часть $11.35781669$ не больше правой части $15$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{97}{4}$ Ложь

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - \frac{97}{4}$ Ложь

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ или $- 4 < x < 6$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{97}{4} < x < - 4 or - 4 < x < 6$

Интервальное представление:

$(- \frac{97}{4}, - 4) \cup (- 4, 6)$

Этап 9