Алгебра Примеры

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Этап 4

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Этап 5.2

Перепишем многочлен.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Этап 5.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Этап 6.3

Чтобы записать $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ на $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4.2

Возведем $x + y$ в степень $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4.3

Возведем $x + y$ в степень $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Этап 6.4.6

Умножим $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ на $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 6.6

Перепишем $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 6.6.2

Добавим $y + y$ и $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 6.6.3

Добавим $y$ и $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 7.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Этап 8

Вынесем множитель $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ из $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Этап 9

Объединим.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Этап 10

Сократим общий множитель $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Этап 11

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Этап 11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Этап 12

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Этап 13

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ и $y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Этап 13.2

Вынесем множитель $x + y$ из ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Этап 13.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Этап 13.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Этап 13.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Этап 13.3.4

Разделим $(x + y) (2 x)$ на $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Этап 14

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + y (2 x)$

Этап 15

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Этап 15.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Этап 16

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Этап 16.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$