Алгебра Примеры

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Этап 1

Умножим обе части на $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2.2.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем многочлен.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2.2.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ на $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Этап 2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Этап 2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$x + 2, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 2$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ умножим на $x + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ на $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x = 12 (x + 2)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Этап 3.3.3.2

Умножим $12$ на $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вычтем $12 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x - 12 x = 24$

Этап 3.4.1.2

Вычтем $12 x$ из $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 9 x = 24$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 9 x = 24$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{8}{- 3}$

Этап 3.4.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{12}{x (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x + 2) = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 4.3

Зададим знаменатель в $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Этап 6.1.3

Левая часть $0.8$ не меньше правой части $0.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{8}{3} < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{8}{3} < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2.33$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 2.33$ в исходном неравенстве.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Этап 6.2.3

Левая часть $15.60671088$ меньше правой части $27.54820936$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Этап 6.4.3

Левая часть $1.5$ не меньше правой части $0.1875$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{8}{3}$ Ложь

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - \frac{8}{3}$ Ложь

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ или $- 2 < x < 0$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Интервальное представление:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Этап 9