Алгебра Примеры

$4 w^{2} > 4 w - 1$

Этап 1

Вычтем $4 w$ из обеих частей неравенства.

$4 w^{2} - 4 w > - 1$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 w^{2} - 4 w = - 1$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 w^{2} - 4 w + 1 = 0$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4 w^{2}$ в виде ${(2 w)}^{2}$ .

${(2 w)}^{2} - 4 w + 1 = 0$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(2 w)}^{2} - 4 w + 1^{2} = 0$

Этап 4.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 w = 2 \cdot (2 w) \cdot 1$

Этап 4.4

Перепишем многочлен.

${(2 w)}^{2} - 2 \cdot (2 w) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 4.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 w$ и $b = 1$ .

${(2 w - 1)}^{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $2 w - 1$ к $0$ .

$2 w - 1 = 0$

Этап 6

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 w = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 w = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 w = 1$ на $2$ .

$\frac{2 w}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 w}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{1}{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$w < \frac{1}{2}$

$w > \frac{1}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $w < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $w < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $w$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} > 4 (0) - 1$

Этап 8.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $w > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $w > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = 3$

Этап 8.2.2

Заменим $w$ на $3$ в исходном неравенстве.

$4 {(3)}^{2} > 4 (3) - 1$

Этап 8.2.3

Левая часть $36$ больше правой части $11$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$w < \frac{1}{2}$ Истина

$w > \frac{1}{2}$ Истина

$w < \frac{1}{2}$ Истина

$w > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$w < \frac{1}{2}$ или $w > \frac{1}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$w < \frac{1}{2} or w > \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 11