Алгебра Примеры

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} = 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$p, p + 1, 1, 1$

Этап 2.2

Поскольку $p, p + 1, 1, 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $p, p + 1, 1, 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $p^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $p + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $p^{1}$ является само значение $p$ .

$p^{1} = p$

$p$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $p^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p$

Этап 2.8

Множителем $p + 1$ является само значение $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $p + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p + 1$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$p (p + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ умножим на $p (p + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ на $p (p + 1)$ .

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (p + 1) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $p + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $p + 1$ из $p (p + 1)$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p \cdot p + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $p$ на $p$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $p$ на $1$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p) = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p + 2 + 3 p - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2 p$ и $3 p$ .

$5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.2.2

Объединим противоположные члены в $5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $5 p$ из $5 p$ .

$2 - 5 p^{2} + 0 = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $2 - 5 p^{2}$ и $0$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p (p + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - 5 p^{2} = 0 (p \cdot p + p \cdot 1)$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $p$ на $p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p \cdot 1)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $p$ на $1$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $0$ на $p^{2} + p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 5 p^{2} = - 2$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 5 p^{2} = - 2$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 5 p^{2} = - 2$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $p^{2}$ на $1$ .

$p^{2} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$p^{2} = \frac{2}{5}$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$p = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.4.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 4.4.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 4.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 4.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$p = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Этап 4.4.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$p = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Десятичная форма:

$p = 0.63245553 \dots, - 0.63245553 \dots$