Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} < \frac{2}{x + 2}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x + 2}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{2}{x + 2}$ на $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - (\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}) < 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{2}{x + 2}$ на $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Этап 2.1.7

Изменим порядок множителей в $x ((x + 1) (x + 2))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Этап 2.1.8

Изменим порядок множителей в $(x + 1) (x (x + 2))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Этап 2.1.9

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (x (x + 1))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} - \frac{2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(x + 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 2) + 1 (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + x \cdot 2 - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 \cdot x - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x + x \cdot 1)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.7

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x^{2} + x \cdot 1)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x^{2} + x)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2} + 0}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.4.2

Добавим $x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2}}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.5

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 - 2 x^{2}}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.6

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} + 3 x + 2 - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 + 0}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 2.6.2

Добавим $3 x + 2$ и $0$ .

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - 1$

$x = - 2$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - \frac{2}{3}, - 1, - 2$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 10.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 10.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 10.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 10.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, - 2$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$x > 0$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{(- 4) + 1} < \frac{2}{(- 4) + 2}$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 0.58\overline{3}$ не меньше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.5$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 1.5} + \frac{1}{(- 1.5) + 1} < \frac{2}{(- 1.5) + 2}$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 2.\overline{6}$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.83$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $- 0.83$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 0.83} + \frac{1}{(- 0.83) + 1} < \frac{2}{(- 0.83) + 2}$

Этап 12.3.3

Левая часть $4.67753366$ не меньше правой части $1.\overline{709401}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.33$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $- 0.33$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 0.33} + \frac{1}{(- 0.33) + 1} < \frac{2}{(- 0.33) + 2}$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 1.53776571$ меньше правой части $1.19760479$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) + 1} < \frac{2}{(2) + 2}$

Этап 12.5.3

Левая часть $0.8\overline{3}$ не меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < - 1$ или $- \frac{2}{3} < x < 0$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 2 < x < - 1 or - \frac{2}{3} < x < 0$

Интервальное представление:

$(- 2, - 1) \cup (- \frac{2}{3}, 0)$

Этап 15