Алгебра Примеры

$\frac{3}{x - 2} + 6 = \sqrt{x - 2} + 8$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + 6$

Этап 2

Решим относительно $\sqrt{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{3}{x - 2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + \frac{6 (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 6 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 (x - 2)$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 3 (2 (x - 2))}{x - 2}$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (2 (x - 2))$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 (x - 2))}{x - 2}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x - 4)}{x - 2}$

Этап 2.1.3.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2}$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x - 2} = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 2)}^{1} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} + \frac{- 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3) - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 2}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.5

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x + 16}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.6

Вычтем $8 x$ из $6 x$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x - 9 + 16}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.7

Добавим $- 9$ и $16$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x + 7}{x - 2})}^{2}$

Этап 4.3.1.4

Применим правило умножения к $\frac{- 2 x + 7}{x - 2}$ .

$x - 2 = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, {(x - 2)}^{2}, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(x - 2)}^{2}$

Этап 5.3

Каждый член в $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ умножим на ${(x - 2)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ на ${(x - 2)}^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x {(x - 2)}^{2} = {(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим ${(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перепишем ${(- 2 x + 7)}^{2}$ в виде $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ .

$x {(x - 2)}^{2} = (- 2 x + 7) (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.2

Развернем $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x + 7) + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.4

Умножим $7$ на $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.1.6

Умножим $7$ на $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.3.2

Вычтем $14 x$ из $- 14 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 5.4.1.1.4

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 ((x - 2) (x - 2))$

Этап 5.4.1.1.5

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Этап 5.4.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Этап 5.4.1.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.4.1.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.4.1.1.6.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.4.1.1.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Этап 5.4.1.1.6.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 5.4.1.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4$

Этап 5.4.1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.8.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4$

Этап 5.4.1.1.8.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 8$

Этап 5.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Добавим $4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 28 x + 49 - 8 x + 8$

Этап 5.4.1.2.2

Вычтем $8 x$ из $- 28 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 49 + 8$

Этап 5.4.1.2.3

Добавим $49$ и $8$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 57$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} = - 36 x + 57$

Этап 5.4.2.2

Добавим $36 x$ к обеим частям уравнения.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$x ((x - 2) (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$x (x^{2} - 4 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.5.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{3} - 4 x \cdot x + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.3.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.4

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 36 x = 57$

Этап 5.4.2.5

Добавим $4 x$ и $36 x$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x = 57$

Этап 5.4.3

Вычтем $57$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57 = 0$

Этап 5.4.4

Разложим $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

$q = \pm 1$

Этап 5.4.4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

Этап 5.4.4.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Этап 5.4.4.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Этап 5.4.4.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 10 \cdot 9 + 40 \cdot 3 - 57$

Этап 5.4.4.3.4

Умножим $- 10$ на $9$ .

$27 - 90 + 40 \cdot 3 - 57$

Этап 5.4.4.3.5

Вычтем $90$ из $27$ .

$- 63 + 40 \cdot 3 - 57$

Этап 5.4.4.3.6

Умножим $40$ на $3$ .

$- 63 + 120 - 57$

Этап 5.4.4.3.7

Добавим $- 63$ и $120$ .

$57 - 57$

Этап 5.4.4.3.8

Вычтем $57$ из $57$ .

$0$

Этап 5.4.4.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57}{x - 3}$

Этап 5.4.4.5

Разделим $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$40 x$

$57$

Этап 5.4.4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$

Этап 5.4.4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 5.4.4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 5.4.4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Этап 5.4.4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Этап 5.4.4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Этап 5.4.4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 5.4.4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} + 21 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 5.4.4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$

Этап 5.4.4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Этап 5.4.4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $19 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Этап 5.4.4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							+	$19 x$	-	$57$

Этап 5.4.4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $19 x - 57$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$

Этап 5.4.4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$
										$0$

Этап 5.4.4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 7 x + 19$

Этап 5.4.4.6

Запишем $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$

Этап 5.4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Этап 5.4.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.4.7

Приравняем $x^{2} - 7 x + 19$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1

Приравняем $x^{2} - 7 x + 19$ к $0$ .

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Этап 5.4.7.2

Решим $x^{2} - 7 x + 19 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 7$ и $c = 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.3.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $19$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.3

Вычтем $76$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$ верно.

$x = 3, \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$