Алгебра Примеры

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ .

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

Этап 4.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

Этап 4.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Упростим ${(e^{y} - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Перепишем ${(e^{y} - x)}^{2}$ в виде $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ .

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

Этап 4.4.3.1.2

Развернем $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

Этап 4.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

Этап 4.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Этап 4.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1.1

Умножим $e^{y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Этап 4.4.3.1.3.1.1.2

Добавим $y$ и $y$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Этап 4.4.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

Этап 4.4.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 4.4.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 4.4.3.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 4.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

Этап 4.4.3.1.3.1.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

Этап 4.4.3.1.3.2

Вычтем $x e^{y}$ из $- e^{y} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.2.1

Перенесем $e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

Этап 4.4.3.1.3.2.2

Вычтем $x e^{y}$ из $- x e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

Этап 4.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

Этап 4.5.2.2

Объединим противоположные члены в $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

Этап 4.5.2.2.2

Добавим $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ и $0$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

Этап 4.5.3

Вычтем $e^{2 y}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

Этап 4.5.4

Разделим каждый член $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ на $- 2 e^{y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ на $- 2 e^{y}$ .

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.2.2

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{2 y}$ и $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- e^{2 y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

Этап 4.5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- 2 e^{y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Этап 4.5.4.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Этап 4.5.4.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

Этап 4.5.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$