Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 2

Упростим $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ на $\frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})}$ .

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})} \cdot \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 2.1.2

Объединим.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (\frac{1}{x} - 1)}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Этап 2.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $1 + \frac{1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}$ в числитель.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем множитель $1 + \frac{1}{x - 1}$ из $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Этап 2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Этап 2.4

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Этап 2.4.2

Объединим.

$y = \frac{(x - 1) (1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1)}$

Этап 2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 1 + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x \cdot x - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.3

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x - 1 + 1}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.7.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x + 0}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.7.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.8

Умножим $x^{2} - x$ на $\frac{x}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x^{2} - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.9.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x (x - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x^{1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1 + 1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.10

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.10.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.10.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + x^{2} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.11

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - 1 \cdot x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.12

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.13

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = \frac{x + 0 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.14

Добавим $x$ и $0$ .

$y = \frac{x - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.15

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.15.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{1} - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.15.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.15.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.7.15.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $(x - 1) x$ из $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Вынесем множитель $(x - 1) x$ из $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x \cdot - 1}$

Этап 2.8.1.2

Вынесем множитель $(x - 1) x$ из $(x - 1) x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)}$

Этап 2.8.1.3

Вынесем множитель $(x - 1) x$ из $(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 - 1)}$

Этап 2.8.2

Умножим $1 + \frac{1}{x - 1}$ на $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1} - 1)}$

Этап 2.8.3

Объединим противоположные члены в $1 + \frac{1}{x - 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (0 + \frac{1}{x - 1})}$

Этап 2.8.3.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x \frac{1}{x - 1}}$

Этап 2.8.4

Объединим $\frac{1}{x - 1}$ и $x$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $1 - x$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9.4

Изменим порядок членов.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9.5

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.9.6

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \cdot (- 1)}{\frac{x}{x - 1}}$

Этап 2.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = x (- 1) \frac{x - 1}{x}$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Сократим общий множитель.

$y = x \cdot - 1 \frac{x - 1}{x}$

Этап 2.11.2

Перепишем это выражение.

$y = - (x - 1)$

Этап 2.12

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x - - 1$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - x + 1$