Алгебра Примеры

$\sqrt{y^{2} + 4} = \sqrt{4 y}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{2} + 4}}^{2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{2} + 4}$ в виде ${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{2} + 4)}^{1} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$y^{2} + 4 = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{4 y}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 = {\sqrt{2^{2} y}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y^{2} + 4 = {(2 \sqrt{y})}^{2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{y}$ .

$y^{2} + 4 = 2^{2} {\sqrt{y}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y^{2} + 4 = 4 {\sqrt{y}}^{2}$

Этап 2.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + 4 = 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 4 = 4 y^{1}$

Этап 2.3.1.4.5

Упростим.

$y^{2} + 4 = 4 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 4 - 4 y = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Переставляем члены.

$y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + 2^{2} = 0$

Этап 3.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Этап 3.2.4

Перепишем многочлен.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 3.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$