Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x + 1, (2 x + 1) (x + 1), x + 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 x + 1$ является само значение $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $2 x + 1, 2 x + 1, x + 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x + 1) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ умножим на $(2 x + 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ на $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x + 1)) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x + 1)) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x (x + 1) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $(2 x + 1) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 2 x + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (2 x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (2 x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} + 2 x = 2 x + 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 2 x - 2 x = 1$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} + 2 x - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$4 x^{2} + 0 = 1$

Этап 4.1.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} = 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 4.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$ истинным.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.5$