Алгебра Примеры

$| x + 3 | - 1 = {(x + 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$| x + 3 | - 1 = 0 + 0 + {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$| x + 3 | - 1 = (x + 2) (x + 2)$

Этап 1.3

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| x + 3 | - 1 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.4.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 1.4.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 2

Перенесем все члены без $| x + 3 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 4 + 1$

Этап 2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 5$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 3 = \pm (x^{2} + 4 x + 5)$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x + 3 = x^{2} + 4 x + 5$

Этап 4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 4 x + 5 = x + 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x + 5 - x = 3$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$x^{2} + 3 x + 5 = 3$

Этап 4.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x + 5 - 3 = 0$

Этап 4.5

Вычтем $3$ из $5$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Этап 4.6

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 4.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.9

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 1, - 2$

Этап 4.11

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x + 3 = - (x^{2} + 4 x + 5)$

Этап 4.12

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Этап 4.13

Упростим $- (x^{2} + 4 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Перепишем.

$0 + 0 - (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Этап 4.13.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Этап 4.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 5 = x + 3$

Этап 4.13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 5 = x + 3$

Этап 4.13.4.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- x^{2} - 4 x - 5 = x + 3$

Этап 4.14

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 4 x - 5 - x = 3$

Этап 4.14.2

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$- x^{2} - 5 x - 5 = 3$

Этап 4.15

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 5 x - 5 - 3 = 0$

Этап 4.15.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$- x^{2} - 5 x - 8 = 0$

Этап 4.16

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.17

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 5$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.3

Вычтем $32$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.18.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{- 2}$

Этап 4.18.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.19

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.20

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = - 1, - 2, - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$