Алгебра Примеры

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

Этап 1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

Этап 2

Каждый член в $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ на $4$ .

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{4}$ в числитель.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

Этап 5

Объединим противоположные члены в $- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

Этап 5.2

Добавим $- x^{2} + 16 x$ и $0$ .

$- x^{2} + 16 x = 0$

Этап 6

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 16 x = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- x$ из $16 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 16)$ .

$- x (x - 16) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Этап 8

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 9

Приравняем $x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 16$ к $0$ .

$x - 16 = 0$

Этап 9.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x = 16$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 16) = 0$ верно.

$x = 0, 16$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 16$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 16$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

Этап 12.2.3

Левая часть $8$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > 16$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > 16$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 16$ Истина

$x > 16$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 16$ Истина

$x > 16$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 16$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 \leq x \leq 16$

Интервальное представление:

$[0, 16]$

Этап 15