Алгебра Примеры

$f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + x$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 3 x^{3} + x$ к $0$ .

$x^{5} - 3 x^{3} + x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 3 x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} + x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x = 0$

Этап 2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{4} - 3 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{4} - 3 x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.4.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 2.61803398$

${(x^{2})}^{1} = 0.38196601$

Этап 2.4.2.7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 2.61803398$

Этап 2.4.2.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.61803398}$

Этап 2.4.2.8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2.61803398}$

Этап 2.4.2.8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2.61803398}$

Этап 2.4.2.8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}$

Этап 2.4.2.9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.38196601$

Этап 2.4.2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.38196601$

Этап 2.4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.38196601}$

Этап 2.4.2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.38196601}$

Этап 2.4.2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.38196601}$

Этап 2.4.2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Этап 2.4.2.11

Решением $x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$ является $x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$ .

$x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{4} - 3 x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Десятичная форма:

$x = 0, 1.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots, 0.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Этап 4