Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ в виде уравнения.

$y = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y^{- \frac{5}{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ .

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ на $3$ .

$\frac{3 y^{- \frac{5}{2}}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $y^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{\frac{5}{2}}, 3$

Этап 3.3.2

Так как $y^{\frac{5}{2}}, 3$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{\frac{5}{2}}$ .

Этап 3.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.3.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.3.6

НОК $1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 3.3.7

НОК $y^{\frac{5}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.3.8

НОК $y^{\frac{5}{2}}, 3$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ умножим на $3 y^{\frac{5}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ на $3 y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} (3 y^{\frac{5}{2}}) = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Этап 3.4.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3 = x y^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ .

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ на $x$ .

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $y^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{x}$

Этап 3.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.1.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{x}$ .

$y = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ обратной к $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 x^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}))}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}})}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.3

Применим правило умножения к $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}}$

Этап 5.2.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Этап 5.2.3.4.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Этап 5.2.3.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 5.2.3.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Этап 5.2.3.4.2

Упростим.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $3^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.3

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{{(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.5.2

Упростим.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Этап 5.3.6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Этап 5.3.6.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Этап 5.3.6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.6.2

Найдем экспоненту.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ — обратная к $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$