Алгебра Примеры

$\frac{9 x^{2} - 4}{3 x^{2} - 5 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 4}{3 x^{2} - 5 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 2^{2}}{3 x^{2} - 5 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{3 x^{2} - 5 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{3 x^{2} - 5 (x) + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 5$ как $- 2$ плюс $- 3$

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{4}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2}) - 6 x^{3} + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 6 x^{3}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 6 x) + 4 x^{2}}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 6 x) + x^{2} \cdot 4}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 6 x)$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x) + x^{2} \cdot 4}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{2} - 6 x) + x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{27 x^{4} + 8 x}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $27 x^{4} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $27 x^{4}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x (27 x^{3}) + 8 x}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x (27 x^{3}) + x \cdot 8}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (27 x^{3}) + x \cdot 8$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x (27 x^{3} + 8)}$

Этап 4.2

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ({(3 x)}^{3} + 8)}$

Этап 4.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ({(3 x)}^{3} + 2^{3})}$

Этап 4.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) ({(3 x)}^{2} - (3 x) \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) (3^{2} x^{2} - (3 x) \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 4.5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) (9 x^{2} - (3 x) \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 4.5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 4.5.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 2^{2}))}$

Этап 4.5.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{x (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4))}{(3 x - 2) (x - 1) (x (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4))}{(3 x - 2) (x - 1) (x (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x - 2) (x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4))}{(3 x - 2) (x - 1) (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 2) (x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4))}{(3 x - 2) (x - 1) (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)}{(x - 1) (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (9 x^{2} - 6 x + 4)$ .

$\frac{x (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}{(x - 1) (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $(x - 1) (x (9 x^{2} - 6 x + 4))$ .

$\frac{x (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}{x ((x - 1) (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (9 x^{2} - 6 x + 4))}{x ((x - 1) (9 x^{2} - 6 x + 4))}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (9 x^{2} - 6 x + 4)}{(x - 1) (9 x^{2} - 6 x + 4)}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $9 x^{2} - 6 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (9 x^{2} - 6 x + 4)}{(x - 1) (9 x^{2} - 6 x + 4)}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{x - 1}$