Алгебра Примеры

$\sqrt{6 - x} < x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{6 - x}}^{2} < x^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x}$ в виде ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 - x)}^{1} < x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$6 - x < x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$6 - x - x^{2} < 0$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 - x - x^{2} = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $6 - x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем $6$ .

$- x - x^{2} + 6 = 0$

Этап 3.3.1.1.2

Изменим порядок $- x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 3.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{6 - x} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 - x \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 6$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 6$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 6}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 6}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 6}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x \leq 6$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6]$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 - (- 6)} < - 6$

Этап 6.1.3

Левая часть $3.46410161$ не меньше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 - (0)} < 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $2.44948974$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 - (4)} < 4$

Этап 6.3.3

Левая часть $1.41421356$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 - (8)} < 8$

Этап 6.4.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 6$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 6$

Интервальное представление:

$(2, 6)$

Этап 9