Алгебра Примеры

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (θ)$ на $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (2 θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (2 θ)$ к $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (2 θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 3.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.5.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.5.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.2.5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\cos (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $1 - \cos^{2} (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $1 - \cos^{2} (θ)$ к $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- \cos^{2} (θ) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos^{2} (θ) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $\cos^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

Этап 4.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

Этап 4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (θ) = 1$

Этап 4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (θ) = - 1$

Этап 4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (θ) = 1, - 1$

Этап 4.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

Этап 4.2.7

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 4.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

Этап 4.2.7.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 4.2.7.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.8

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 4.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$θ = π$

Этап 4.2.8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - π$

Этап 4.2.8.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = π$

Этап 4.2.8.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.9

Перечислим все решения.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.10

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ верно.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{3 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ истинным.

Нет решения