Алгебра Примеры

$\frac{\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}}{\frac{r^{2} + 4 r + 3}{r^{2} + 2 r}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r^{2} + 2 r}{r^{2} + 4 r + 3}$

Этап 2

Вынесем множитель $r$ из $r^{2} + 2 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r \cdot r + 2 r}{r^{2} + 4 r + 3}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $r$ из $2 r$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r \cdot r + r \cdot 2}{r^{2} + 4 r + 3}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot r + r \cdot 2$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{r^{2} + 4 r + 3}$

Этап 3

Разложим $r^{2} + 4 r + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 4

Чтобы записать $\frac{r + 6}{r}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$(\frac{r + 6}{r} \cdot \frac{r + 2}{r + 2} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 5

Чтобы записать $- \frac{1}{r + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r}{r}$ .

$(\frac{r + 6}{r} \cdot \frac{r + 2}{r + 2} - \frac{1}{r + 2} \cdot \frac{r}{r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $r (r + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{r + 6}{r}$ на $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{1}{r + 2} \cdot \frac{r}{r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{r + 2}$ на $\frac{r}{r}$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{r}{(r + 2) r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 6.3

Изменим порядок множителей в $(r + 2) r$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{r}{r (r + 2)}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(r + 6) (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Развернем $(r + 6) (r + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r (r + 2) + 6 (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r \cdot r + r \cdot 2 + 6 (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r \cdot r + r \cdot 2 + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot 2 + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $r$ .

$\frac{r^{2} + 2 \cdot r + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{r^{2} + 2 r + 6 r + 12 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.2.2

Добавим $2 r$ и $6 r$ .

$\frac{r^{2} + 8 r + 12 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.3

Вычтем $r$ из $8 r$ .

$\frac{r^{2} + 7 r + 12}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 8.4

Разложим $r^{2} + 7 r + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 8.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $r + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $r + 3$ из $(r + 1) (r + 3)$ .

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 3) (r + 1)}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 3) (r + 1)}$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r + 4}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{r + 1}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $r (r + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r + 4}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{r + 1}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$(r + 4) \frac{1}{r + 1}$

Этап 9.3

Умножим $r + 4$ на $\frac{1}{r + 1}$ .

$\frac{r + 4}{r + 1}$