Алгебра Примеры

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot - 10 = - 10$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 10 y^{2} + 3 x y} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Изменим порядок $- 10 y^{2}$ и $3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Запишем $3$ как $- 2$ плюс $5$

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + (- 2 + 5) (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 2 (x y) + 5 (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y + 5 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 x + 2 y}{(x^{2} - 2 x y) + 5 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x + 2 y}{x (x - 2 y) + 5 y (x - 2 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot - 5 = - 5$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 5 y^{2} + 4 x y} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.1.2

Изменим порядок $- 5 y^{2}$ и $4 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.1.4

Запишем $4$ как $- 1$ плюс $5$

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + (- 1 + 5) (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 1 (x y) + 5 (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 1 x y + 5 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x^{2} - 1 x y) + 5 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x (x - 1 y) + 5 y (x - y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - 1 y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 2 = 2$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} + 2 y^{2} - 3 x y}$

Этап 1.3.1.1.2

Изменим порядок $2 y^{2}$ и $- 3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 (x y) + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.1.4

Запишем $- 3$ как $- 1$ плюс $- 2$

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} + (- 1 - 2) (x y) + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 1 (x y) - 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 1 x y - 2 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x^{2} - 1 x y) - 2 x y + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x (x - 1 y) - 2 y (x - y)}$

Этап 1.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - 1 y) (x - 2 y)}$

Этап 1.3.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2 y}{x - 2 y}$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - 2 y}{x - 2 y} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)}$ на $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - 2 y}{x - 2 y} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)}$ на $\frac{x - 2 y}{x - 2 y}$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(3 x + 2 y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (x - y) + 2 y (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (- y) + 2 y (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 1 x y + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 y \cdot y - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 (y \cdot y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 3 x y$ и $2 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 x y - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 3 x y$ и $2 x y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} + (- (5 x) - y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} + (- 5 x - y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.5

Развернем $(- 5 x - y) (x - 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x (x - 2 y) - y (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x \cdot x - 5 x (- 2 y) - y (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x \cdot x - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 (x \cdot x) - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot - 2 x y - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.3

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 y \cdot y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 (y \cdot y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.2

Вычтем $y x$ из $10 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - 1 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.6.2.2

Вычтем $x y$ из $10 x y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 9 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.7

Вычтем $5 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - x y - 2 y^{2} + 9 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.8

Добавим $- x y$ и $9 x y$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 y^{2} + 8 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.9

Добавим $- 2 y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 0}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.10

Добавим $- 2 x^{2} + 8 x y$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.11

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2} + 8 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 8 x y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.11.2

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x y$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 6.11.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x) + 2 x (4 y)$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5 y}{x + 5 y}$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)} \cdot \frac{x + 5 y}{x + 5 y}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$ на $\frac{x + 5 y}{x + 5 y}$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{(4 x - y) (x + 5 y)}{(x - y) (x - 2 y) (x + 5 y)}$

Этап 8.2

Изменим порядок множителей в $(x - y) (x - 2 y) (x + 5 y)$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{(4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x (- x + 4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x (4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.5

Развернем $(4 x - y) (x + 5 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x (x + 5 y) - y (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x \cdot x + 4 x (5 y) - y (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x \cdot x + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 (x \cdot x) + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 4 \cdot 5 x y - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 y \cdot y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 (y \cdot y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.2

Вычтем $y x$ из $20 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - 1 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.6.2.2

Вычтем $x y$ из $20 x y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 19 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.7

Добавим $- 2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 19 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Этап 10.8

Добавим $8 x y$ и $19 x y$ .

$\frac{2 x^{2} + 27 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$