Алгебра Примеры

$\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}} = x + 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}$ в виде ${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = (x + 1) (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Перенесем все члены без $x \sqrt{x^{2} + 24}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1 - 1$

Этап 3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 0$

Этап 3.2.2

Добавим $x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(x \sqrt{x^{2} + 24})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 24}$ в виде ${(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{1} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим.

$x^{2} (x^{2} + 24) = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.5.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Перенесем $24$ влево от $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x (2 x)$

Этап 5.3.1.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

Этап 5.3.1.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = x^{4} + 24 x^{2}$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} = 24 x^{2}$

Этап 6.2.2

Вычтем $24 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Объединим противоположные члены в $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вычтем $x^{4}$ из $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 0 - 24 x^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Добавим $4 x^{3} + 4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 24 x^{2} = 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $24 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 20 x^{2} = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 20 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5) = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5)$ .

$4 x^{2} (x - 5) = 0$

Этап 6.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.5.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$