Алгебра Примеры

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} < \frac{x + 1}{4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x + 1}{4}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - (\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{12}{12}) - \frac{x + 1}{4} < 0$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{x + 1}{4}$ на $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - (\frac{x + 1}{4} \cdot \frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}) < 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{x + 1}{4}$ на $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Этап 2.1.7

Изменим порядок множителей в $3 (4 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Этап 2.1.8

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Этап 2.1.9

Изменим порядок множителей в $(x - 2) \cdot 12$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Этап 2.1.10

Изменим порядок множителей в $4 (3 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} < 0$

Этап 2.1.11

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (4 (x - 2)) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x (x - 2) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1 \cdot 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x + 3 \cdot - 2)}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.8

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.9

Развернем $(- x - 1) (3 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x - 6) - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.4

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.1.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.3.10.2

Вычтем $3 x$ из $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 12 + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.5

Добавим $- 8 x$ и $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 12 + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.6

Добавим $- 12$ и $6$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 2.7

Разложим $x^{2} - 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 6, 1$

Этап 2.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6$

$x = - 1$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 6, - 1, 2$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$12 (x - 2) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $12 (x - 2) = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Разделим каждый член $12 (x - 2) = 0$ на $12$ .

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 9.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 9.2.1.2.1.2

Разделим $x - 2$ на $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{12}$

Этап 9.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x - 2 = 0$

Этап 9.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 4}{3} - \frac{1}{(- 4) - 2} < \frac{(- 4) + 1}{4}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 1.1\overline{6}$ меньше правой части $- 0.75$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{0}{3} - \frac{1}{(0) - 2} < \frac{(0) + 1}{4}$

Этап 11.2.3

Левая часть $0.5$ не меньше правой части $0.25$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{3} - \frac{1}{(4) - 2} < \frac{(4) + 1}{4}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.8\overline{3}$ меньше правой части $1.25$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{(8) - 2} < \frac{(8) + 1}{4}$

Этап 11.4.3

Левая часть $2.5$ не меньше правой части $2.25$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $2 < x < 6$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 1 or 2 < x < 6$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (2, 6)$

Этап 14