Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{24}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{x - 10}$ на $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{x - 10}$ на $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{2}{24}$ на $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{2}{24}$ на $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Этап 2.1.7

Изменим порядок множителей в $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Этап 2.1.8

Изменим порядок множителей в $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Этап 2.1.9

Изменим порядок множителей в $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.2

Перенесем $24$ влево от $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.3

Умножим $- 10$ на $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.4

Перенесем $24$ влево от $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.7

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.3.9

Умножим $- 10$ на $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.4

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.5

Добавим $48 x$ и $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $68 x - 240 - 2 x^{2}$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Этап 2.6.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Этап 2.6.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ , а сумма — $b = 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $34$ из $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.2.2

Запишем $34$ как $4$ плюс $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.7.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.9

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.11

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Добавим $30$ к обеим частям уравнения.

$x = 30$

Этап 7

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, 4, 30, 10$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$12 x (x - 10) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 10) = 0$ верно.

$x = 0, 10$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 0.58\overline{3}$ меньше правой части $0.08\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 12.2.3

Левая часть $0.375$ больше правой части $0.08\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{190476}$ меньше правой части $0.08\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $10 < x < 30$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $10 < x < 30$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.58\overline{3}$ больше правой части $0.08\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $x > 30$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $x > 30$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 32$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $32$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Этап 12.5.3

Левая часть $0.07670\overline{45}$ меньше правой части $0.08\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 10$ Ложь

$10 < x < 30$ Истина

$x > 30$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 10$ Ложь

$10 < x < 30$ Истина

$x > 30$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq 4$ или $10 < x \leq 30$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Интервальное представление:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Этап 15