Алгебра Примеры

$f (x) = | x + 2 |$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Приравняем аргумент модуля к $0$ , чтобы найти возможные значения, на которые разобьется решение.

$x + 2 = 0$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим уравнение относительно $x$ .

$x = - 2$

Этап 3.2

Зададим интервалы вокруг решений, чтобы узнать, где $x + 2$ принимает положительные и отрицательные значения.

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Этап 3.3

Подставим значение на каждом интервале в $x + 2$ , чтобы определить знак выражения на каждом из них.

$\begin{array}{c} Интервал & Знак на интервале \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

Этап 3.4

Проинтегрируем аргумент модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Составим интеграл с аргументом модуля.

$\int x + 2 d x$

Этап 3.4.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int 2 d x$

Этап 3.4.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

Этап 3.4.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

Этап 3.4.5

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Этап 3.5

На интервалах, где аргумент отрицателен, умножим значение интеграла на $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Этап 3.7

Упростим.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Этап 3.8

Упростим.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Этап 4

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$