Алгебра Примеры

$\frac{1 - x}{2 x} + \frac{x + 2}{x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1 - x}{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - x}{2 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x + 2}{x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1 - x}{2 x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x \cdot x} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 (x^{1} x)} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 (x^{1} x^{1})} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{1 + 1}} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $\frac{x + 2}{x^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{(x + 2) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 3.7

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 - x) x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 x - x \cdot x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x - x \cdot x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x - (x \cdot x) + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x - x^{2} + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x^{2} + x \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x - x^{2} + 2 \cdot x + 2 \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x - x^{2} + 2 \cdot x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.7

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{- x^{2} + 3 (x) + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 4) x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 4 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 4 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 1) - 4 (- x - 1)}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 5.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 a}{3 a}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} \cdot \frac{3 a}{3 a} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{1}{3 a x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} \cdot \frac{3 a}{3 a} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6 a x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}}$ на $\frac{3 a}{3 a}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{2 x^{2} (3 a)} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3

Умножим $\frac{1}{3 a x^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{3 a x^{2} \cdot 2}$

Этап 8.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{6 a x^{2}}$

Этап 8.5

Изменим порядок множителей в $6 a x^{2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{6 x^{2} a}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Развернем $(- x - 1) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x (x - 4) - 1 (x - 4)) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 (x - 4)) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(- (x \cdot x) - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(- x^{2} - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{(- x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{(- x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{(- x^{2} + 4 x - x + 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.2.2

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$\frac{(- x^{2} + 3 x + 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3 + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 9 x + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.4.3

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 9 x + 12) a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{2} a + 9 x a + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} a$ .

$\frac{- (3 x^{2} a) + 9 x a + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x a$ .

$\frac{- (3 x^{2} a) - (- 9 x a) + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} a) - (- 9 x a)$ .

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a) + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $12 a$ .

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a) - (- 12 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} a - 9 x a) - (- 12 a)$ .

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Этап 11.6

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) - 1 (- 2)}{6 x^{2} a}$

Этап 11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)}{6 x^{2} a}$

Этап 11.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Перепишем $- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)$ в виде $- 1 (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)}{6 x^{2} a}$

Этап 11.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2}{6 x^{2} a}$