Алгебра Примеры

$- \frac{9}{x^{2} - x} + 9 = \frac{1}{x^{2} - x}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x \cdot x - x} + 9 = \frac{1}{x^{2} - x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$- \frac{9}{x \cdot x + x \cdot - 1} + 9 = \frac{1}{x^{2} - x}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x^{2} - x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x \cdot x - x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x (x - 1), 1, x (x - 1)$

Этап 2.2

Поскольку $x (x - 1), 1, x (x - 1)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x (x - 1), 1, x (x - 1)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 1, x - 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 1$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x (x - 1)}$ умножим на $x (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{9}{x (x - 1)} + 9 = \frac{1}{x (x - 1)}$ на $x (x - 1)$ .

$- \frac{9}{x (x - 1)} (x (x - 1)) + 9 (x (x - 1)) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{x (x - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 9}{x (x - 1)} (x (x - 1)) + 9 (x (x - 1)) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9}{x (x - 1)} (x (x - 1)) + 9 (x (x - 1)) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 9 + 9 (x (x - 1)) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 + 9 (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$- 9 + 9 (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 9 + 9 (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 9 + 9 (x^{2} - x) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 + 9 x^{2} + 9 (- x) = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 + 9 x^{2} - 9 x = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- 9 + 9 x^{2} - 9 x = \frac{1}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- 9 + 9 x^{2} - 9 x = 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 9 + 9 x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $- 9$ .

$9 x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$9 x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $- 9$ как $6$ плюс $- 15$

$9 x^{2} + (6 - 15) x - 10 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 6 x - 15 x - 10 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 x^{2} + 6 x) - 15 x - 10 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (3 x - 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 4.6

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (3 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{6}, 1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = - \frac{2}{3}, 1 \frac{2}{3}$