Алгебра Примеры

$\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x^{2} - 5 x}$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x \cdot x - 5 x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x (x - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, 1, x (x - 5)$

Этап 2.2

Поскольку $x - 5, 1, x (x - 5)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x - 5, 1, x (x - 5)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 5, x - 5$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 5$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x (x - 5)}$ умножим на $x (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5 x}{x - 5} - 2 = \frac{8}{x (x - 5)}$ на $x (x - 5)$ .

$\frac{5 x}{x - 5} (x (x - 5)) - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $x (x - 5)$ .

$\frac{5 x}{x - 5} ((x - 5) x) - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{x - 5} ((x - 5) x) - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$5 x \cdot x - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (x^{1} x) - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (x^{1} x^{1}) - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{1 + 1} - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x^{2} - 2 (x (x - 5)) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 5) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 2 (x^{2} + x \cdot - 5) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.8

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$5 x^{2} - 2 (x^{2} - 5 \cdot x) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (- 5 x) = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$5 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 10 x = \frac{8}{x (x - 5)} (x (x - 5))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 10 x = 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$3 x^{2} + 10 (x) - 8 = 0$

Этап 4.2.1.2

Запишем $10$ как $- 2$ плюс $12$

$3 x^{2} + (- 2 + 12) x - 8 = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x + 12 x - 8 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 2 x) + 12 x - 8 = 0$

Этап 4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 2) + 4 (3 x - 2) = 0$

Этап 4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 4.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, - 4$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2}{3}, - 4$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{6}, - 4$