Алгебра Примеры

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{38}{x} = 16$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, x, 1$

Этап 1.2

Так как $x^{2}, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{2}, x^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 1.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2

Каждый член в $\frac{5}{x^{2}} - \frac{38}{x} = 16$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x^{2}} - \frac{38}{x} = 16$ на $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} - \frac{38}{x} x^{2} = 16 x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} - \frac{38}{x} x^{2} = 16 x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 - \frac{38}{x} x^{2} = 16 x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{38}{x}$ в числитель.

$5 + \frac{- 38}{x} x^{2} = 16 x^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$5 + \frac{- 38}{x} (x \cdot x) = 16 x^{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$5 + \frac{- 38}{x} (x \cdot x) = 16 x^{2}$

Этап 2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$5 - 38 x = 16 x^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $16 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 - 38 x - 16 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 - 38 x - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $5$ .

$- 38 x - 16 x^{2} + 5 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $- 38 x$ и $- 16 x^{2}$ .

$- 16 x^{2} - 38 x + 5 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 x^{2}$ .

$- (16 x^{2}) - 38 x + 5 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 38 x$ .

$- (16 x^{2}) - (38 x) + 5 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- (16 x^{2}) - (38 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (16 x^{2}) - (38 x)$ .

$- (16 x^{2} + 38 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (16 x^{2} + 38 x) - 1 (- 5)$ .

$- (16 x^{2} + 38 x - 5) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot - 5 = - 80$ , а сумма — $b = 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $38$ из $38 x$ .

$- (16 x^{2} + 38 (x) - 5) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $38$ как $- 2$ плюс $40$

$- (16 x^{2} + (- 2 + 40) x - 5) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (16 x^{2} - 2 x + 40 x - 5) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((16 x^{2} - 2 x) + 40 x - 5) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (2 x (8 x - 1) + 5 (8 x - 1)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 x - 1$ .

$- ((8 x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (8 x - 1) (2 x + 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $8 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Этап 3.5

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (8 x - 1) (2 x + 5) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{8}, - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.125, - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{1}{8}, - 2 \frac{1}{2}$