Алгебра Примеры

$\frac{x + 1}{x^{2} - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Этап 1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ и ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x - 1)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x - 1)}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{x - 1}$

Этап 2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{x - 1}$