Алгебра Примеры

$\frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{8 x^{3} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 4 x + 1}{8 x^{3} - 1}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Этап 1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Этап 1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x)}^{3} - 1}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x)}^{3} - 1^{3}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2})}$

Этап 2.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Этап 3

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ и $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 1)}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 1)}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x - 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}$