Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 1 = 0$

$3 x + 9 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 9$

Этап 7

Разделим каждый член $3 x = - 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 x = - 9$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 9$ на $3$ .

$x = - 3$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1, - 1$

$x = - 3$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 1, - 1, - 3$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x + 9 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 9$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 9$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $3$ .

$x = - 3$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{3 (- 6) + 9} \leq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 3.\overline{8}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{3 (- 2) + 9} \leq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{3 (0) + 9} \leq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{1}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{3 (4) + 9} \leq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.\overline{714285}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $- 1 \leq x \leq 1$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 3 or - 1 \leq x \leq 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup [- 1, 1]$

Этап 15