Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x + 2} = 3 + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 1, x$

Этап 1.2

Поскольку $x + 2, 1, x$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x + 2, 1, x$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 2$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 3}{x + 2} = 3 + \frac{1}{x}$ умножим на $x (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 3}{x + 2} = 3 + \frac{1}{x}$ на $x (x + 2)$ .

$\frac{x + 3}{x + 2} (x (x + 2)) = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $x (x + 2)$ .

$\frac{x + 3}{x + 2} ((x + 2) x) = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{x + 2} ((x + 2) x) = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$(x + 3) x = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + 3 x = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.2.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 x = 3 (x (x + 2)) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x = 3 (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 x = 3 (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 3 x = 3 (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{2} + 3 x = 3 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 3 x = 3 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x} (x (x + 2))$

Этап 2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 3 x = 3 x^{2} + 6 x + x + 2$

Этап 2.3.2

Добавим $6 x$ и $x$ .

$x^{2} + 3 x = 3 x^{2} + 7 x + 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 3 x^{2} = 7 x + 2$

Этап 3.1.2

Вычтем $7 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 3 x^{2} - 7 x = 2$

Этап 3.1.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 3 x - 7 x = 2$

Этап 3.1.4

Вычтем $7 x$ из $3 x$ .

$- 2 x^{2} - 4 x = 2$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - 4 x - 2 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 4 x - 2 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = 0$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (2 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 1 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} + 2 x) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 2 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$- 2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Разделим каждый член $- 2 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $- 2 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$