Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.5.2

Возведем $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.6

Перепишем ${(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.7

Развернем $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.8

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{9}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.11

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + 3}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.2

Добавим $5$ и $3$ .

$\frac{8 + \sqrt{15} + \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.8.3

Добавим $\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9

Сократим общий множитель $8 + 2 \sqrt{15}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (\sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4) + 2 (\sqrt{15})$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 (1)} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 \cdot 1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 + \sqrt{15}}{1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.9.4.4

Разделим $4 + \sqrt{15}$ на $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Этап 1.10

Умножим $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Этап 1.11

Умножим $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

Этап 1.12

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{15} + \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.13

Упростим.

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Возведем $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.14.2

Возведем $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1}}{2}$

Этап 1.14.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2}$

Этап 1.14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}}{2}$

Этап 1.15

Перепишем ${(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.16

Развернем $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.5

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.6

Умножим $- \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.17.1.7

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.17.1.7.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.17.1.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.17.1.7.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Этап 1.17.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 1.17.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 1.17.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 1.17.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 1.17.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 1.17.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 1.17.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{1}}{2}$

Этап 1.17.1.8.5

Найдем экспоненту.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2}$

Этап 1.17.2

Добавим $5$ и $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - \sqrt{15} - \sqrt{15}}{2}$

Этап 1.17.3

Вычтем $\sqrt{15}$ из $- \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Этап 1.18

Сократим общий множитель $8 - 2 \sqrt{15}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Этап 1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{15})}{2}$

Этап 1.18.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4) + 2 (- \sqrt{15})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2}$

Этап 1.18.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 (1)}$

Этап 1.18.4.2

Сократим общий множитель.

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.18.4.3

Перепишем это выражение.

$4 + \sqrt{15} + \frac{4 - \sqrt{15}}{1}$

Этап 1.18.4.4

Разделим $4 - \sqrt{15}$ на $1$ .

$4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15}$

Этап 2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ и $4$ .

$8 + \sqrt{15} - \sqrt{15}$

Этап 2.2

Вычтем $\sqrt{15}$ из $\sqrt{15}$ .

$8 + 0$

Этап 2.3

Добавим $8$ и $0$ .

$8$