Алгебра Примеры

$\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18} = \sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}$ в виде ${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{1} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$ в виде $5 y^{2} - 5 y - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$ в виде ${(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {({(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = 5 y^{2} - 5 y - 7$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $5 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} = - 5 y - 7$

Этап 3.1.2

Добавим $5 y$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} + 5 y = - 7$

Этап 3.1.3

Вычтем $5 y^{2}$ из $9 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 15 y + 18 + 5 y = - 7$

Этап 3.1.4

Добавим $15 y$ и $5 y$ .

$4 y^{2} + 20 y + 18 = - 7$

Этап 3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$4 y^{2} + 20 y + 18 + 7 = 0$

Этап 3.3

Добавим $18$ и $7$ .

$4 y^{2} + 20 y + 25 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 25 = 0$

Этап 3.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 5^{2} = 0$

Этап 3.4.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 5$

Этап 3.4.4

Перепишем многочлен.

${(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 3.4.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 y$ и $b = 5$ .

${(2 y + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Приравняем $2 y + 5$ к $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - 5$

Этап 3.6.2

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.6.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$y = - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$y = - 2 \frac{1}{2}$