Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2

Упростим $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2.1.3

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x \cdot 4}{x \cdot 4} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2.1.4

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2.1.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Этап 1.2.1.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Этап 1.2.1.7

Изменим порядок множителей в $x ((x - 2) \cdot 4)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Этап 1.2.1.8

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x \cdot 4)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{4 x (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Этап 1.2.1.9

Изменим порядок множителей в $4 (x (x - 2))$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{4 x (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 2) \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 \cdot x - 2 \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{4 \cdot x - 8 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 \cdot x - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x \cdot x - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x^{2} - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.3.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x^{2} + 2 x}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.4

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{8 x - 8 - x^{2} + 2 x}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.5

Добавим $8 x$ и $2 x$ .

$\frac{10 x - 8 - x^{2}}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 10 x - 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.7

Разобьем дробь $\frac{- x^{2} + 10 x - 8}{4 x (x - 2)}$ на две дроби.

$\frac{- x^{2} + 10 x}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- x + 10)}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- x + 10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.3

Разобьем дробь $\frac{- x + 10}{4 (x - 2)}$ на две дроби.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} + \frac{10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.4.2

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 (5)}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 (5)}{2 (2 (x - 2))} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (2 (x - 2))} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.5

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x (x - 2))} = 0$

Этап 1.2.8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x (x - 2))} = 0$

Этап 1.2.8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{- 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 1.2.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$

Этап 2.2

Поскольку $4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $4, 2, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 2, x - 2, x - 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.7

НОК $4, 2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.9

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.11

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.12

НОК $x - 2, x - 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 2$

Этап 2.13

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 x (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$ умножим на $4 x (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$ на $4 x (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} (4 x (x - 2)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $4 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{4 (x - 2)}$ в числитель.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 x (x - 2)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Вынесем множитель $4 (x - 2)$ из $4 x (x - 2)$ .

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 (x - 2) (x)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 (x - 2) x) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- x \cdot x + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{1} x) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{1 + 1} + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{2} + 4 \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- x^{2} + 2 (2) \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 2 \frac{5}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.8

Объединим $2$ и $\frac{5}{x - 2}$ .

$- x^{2} + \frac{2 \cdot 5}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $2$ на $5$ .

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.10

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x (x - 2)$ .

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} ((x - 2) x) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} ((x - 2) x) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 10 x - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.11

Сократим общий множитель $x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x (x - 2)}$ в числитель.

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.2

Вынесем множитель $x (x - 2)$ из $4 x (x - 2)$ .

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (x (x - 2) (4)) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (x (x - 2) \cdot 4) = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 10 x - 2 \cdot 4 = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.2.1.12

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2)$

Этап 3.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x^{2} + 4 x \cdot - 2)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x^{2} - 8 x)$

Этап 3.3.4

Умножим $0$ на $4 x^{2} - 8 x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 10$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем $32$ из $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{- 2}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Этап 4.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + \sqrt{17}, 5 - \sqrt{17}$

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$x = 9.12310562 \dots, 0.87689437 \dots$