Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} - x > 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x} - x > 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} - x > 0$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x - x \cdot x > 0 x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x - x \cdot x > 0 x$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - x \cdot x > 0 x$

Этап 2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$1 - (x \cdot x) > 0 x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x^{2} > 0 x$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$1 - x^{2} > 0$

Этап 3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} > - 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- x^{2} > - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} > - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} < 1$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Этап 3.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | < \sqrt{1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | < 1$

Этап 3.5

Запишем $| x | < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 3.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x < 1$

Этап 3.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 3.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x < 1$

Этап 3.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 3.6

Найдем пересечение $x < 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Этап 3.7

Решим $- x < 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- x < 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Разделим каждый член $- x < 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x > - 1$

Этап 3.7.2

Найдем пересечение $x > - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Этап 3.8

Найдем объединение решений.

$- 1 < x < 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < x < 1$

Интервальное представление:

$(- 1, 1)$

Этап 5