Алгебра Примеры

$\frac{x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 12 x^{4}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $27 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x)$ .

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27$ .

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x + 27)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 12 x + 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $27$ , а сумма — $- 12$ .

$- 9, - 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{3} ((x - 9) (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 36$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 36)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 2.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 6^{2})}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 90 x + 324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) - 90 x + 324}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 90 x$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) + 6 (- 15 x) + 324}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $6$ из $324$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} + 6 (- 15 x) + 6 \cdot 54}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (- 15 x)$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x + 54)}$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} - 15 x + 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $54$ , а сумма — $- 15$ .

$- 9, - 6$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 ((x - 9) (x - 6))}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x - 9$ из $x^{3} (x - 9) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x - 9$ из $6 (x - 9) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Этап 4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $2 (x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} (x - 3) \cdot \frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Этап 4.3

Объединим $\frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2 (x - 6) x^{3}}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 6) x^{3}$ .

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (x - 6)$ .

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{3} (x - 3)$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{3} x + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Этап 5

Умножим $\frac{x^{3}}{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{x^{3}}{3}$ и $x$ .

$\frac{x^{3} x}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Этап 5.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3 + 1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Этап 5.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Этап 6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 (- 1))$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{3} + x^{3} \cdot - 1$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - 1 \cdot x^{3}$

Этап 7.2

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3}$

Этап 8

Чтобы записать $- x^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $- x^{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{- x^{3} \cdot 3}{3}$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{4} - x^{3} \cdot 3}{3}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} - x^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} x - x^{3} \cdot 3}{3}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)}{3}$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{3} (x - 1 \cdot 3)}{3}$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{3} (x - 3)}{3}$