Алгебра Примеры

${(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x} = 1$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x}) = \ln (1)$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x})$ , вынося $4 - x$ из логарифма.

$(4 - x) \ln (2^{x^{2} - 2 x}) = \ln (1)$

Этап 2.2

Развернем $\ln (2^{x^{2} - 2 x})$ , вынося $x^{2} - 2 x$ из логарифма.

$(4 - x) ((x^{2} - 2 x) \ln (2)) = \ln (1)$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Развернем $(4 - x) (x^{2} - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 (x^{2} - 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x^{1}) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{2 + 1} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x \cdot x) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x)) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} + 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$(6 x^{2} - 8 x - x^{3}) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = \ln (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = 0$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 8 x \ln (2)$ .

$6 x^{2} \ln (2) - x^{3} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Этап 5.2

Изменим порядок $6 x^{2} \ln (2)$ и $- x^{3} \ln (2)$ .

$- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Этап 6

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $- x^{3} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $6 x^{2} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) - 8 x \ln (2) = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $- 8 x \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Этап 6.4

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x)$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x - 8) = 0$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 (x) - 8) = 0$

Этап 7.1.1.2

Запишем $6$ как $2$ плюс $4$

$x \ln (2) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8) = 0$

Этап 7.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (2) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8) = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x \ln (2) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8) = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x \ln (2) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Этап 7.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$x \ln (2) ((- x + 2) (x - 4)) = 0$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 9

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10

Приравняем $- x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $- x + 2$ к $0$ .

$- x + 2 = 0$

Этап 10.2

Решим $- x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 11

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, 4$