Алгебра Примеры

$4 z - 1 = \sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2} = 4 z - 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$ в виде ${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{1} = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = {(4 z - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(4 z - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(4 z - 1)}^{2}$ в виде $(4 z - 1) (4 z - 1)$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = (4 z - 1) (4 z - 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(4 z - 1) (4 z - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z - 1) - 1 (4 z - 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z - 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z \cdot z + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 (z \cdot z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $z$ на $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $4 z$ из $- 4 z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 8 z + 1$

Этап 4

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $16 z^{2}$ из обеих частей уравнения.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} = - 8 z + 1$

Этап 4.1.2

Добавим $8 z$ к обеим частям уравнения.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} + 8 z = 1$

Этап 4.1.3

Вычтем $16 z^{2}$ из $25 z^{2}$ .

$9 z^{2} - 14 z + 2 + 8 z = 1$

Этап 4.1.4

Добавим $- 14 z$ и $8 z$ .

$9 z^{2} - 6 z + 2 = 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 z^{2} - 6 z + 2 - 1 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$9 z^{2} - 6 z + 1 = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $9 z^{2}$ в виде ${(3 z)}^{2}$ .

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1^{2} = 0$

Этап 4.4.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 z = 2 \cdot (3 z) \cdot 1$

Этап 4.4.4

Перепишем многочлен.

${(3 z)}^{2} - 2 \cdot (3 z) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 4.4.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3 z$ и $b = 1$ .

${(3 z - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.5

Приравняем $3 z - 1$ к $0$ .

$3 z - 1 = 0$

Этап 4.6

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 z = 1$

Этап 4.6.2

Разделим каждый член $3 z = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разделим каждый член $3 z = 1$ на $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.6.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$z = 0.\overline{3}$