Алгебра Примеры

$f (x) = 4 | 2 x - 1 |$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ в виде уравнения.

$y = 4 | 2 x - 1 |$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 | 2 y - 1 |$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 | 2 y - 1 | = x$ .

$4 | 2 y - 1 | = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 | 2 y - 1 | = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 | 2 y - 1 | = x$ на $4$ .

$\frac{4 | 2 y - 1 |}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 | 2 y - 1 |}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $| 2 y - 1 |$ на $1$ .

$| 2 y - 1 | = \frac{x}{4}$

Этап 3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 y - 1 = \pm \frac{x}{4}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 y - 1 = \frac{x}{4}$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = \frac{x}{4} + 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $2 y = \frac{x}{4} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $2 y = \frac{x}{4} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.3.3.1.2

Умножим $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.3.3.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 y - 1 = - \frac{x}{4}$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = - \frac{x}{4} + 1$

Этап 3.4.6

Разделим каждый член $2 y = - \frac{x}{4} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Разделим каждый член $2 y = - \frac{x}{4} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.6.3.1.2

Умножим $- \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x}{4}$ .

$y = - \frac{x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.6.3.1.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ обратной к $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ и $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ не является функцией, обратной к $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ .

Обратная не существует

Этап 6