Алгебра Примеры

$\frac{k^{10} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $k^{10}$ в виде ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{{(k^{5})}^{2} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 1.2

Пусть $u = k^{5}$ . Подставим $u$ вместо $k^{5}$ для всех.

$\frac{u^{2} + 9 u + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 9 u + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $9$ .

$3, 6$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(u + 3) (u + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $k^{10}$ в виде ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5})}^{2} + 6 k^{5} + 9}$

Этап 2.2

Пусть $u = k^{5}$ . Подставим $u$ вместо $k^{5}$ для всех.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 9}$

Этап 2.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 3^{2}}$

Этап 2.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 2.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 2.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(u + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $k^{5} + 3$ из ${(k^{5} + 3)}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{k^{5} + 6}{k^{5} + 3}$