Алгебра Примеры

$9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Этап 1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $9 x^{3}$ .

$3 x^{2} (3 x) - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $12 x^{5}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{7}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 18 x^{7}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Этап 1.5

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2)$ .

$3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Этап 1.6

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Этап 1.7

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3} - 6 x^{5})$

Этап 2

Перегруппируем члены.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 3 x - 2 + 4 x^{3})$

Этап 3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 4 x^{3} + 3 x - 2)$

Этап 4

Разложим $4 x^{3} + 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 4.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.3.3

Умножим $4$ на $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.3.4

Умножим $3$ на $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Этап 4.3.5

Добавим $0.5$ и $1.5$ .

$2 - 2$

Этап 4.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 4.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Этап 4.5

Разделим $4 x^{3} + 3 x - 2$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Этап 4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Этап 4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Этап 4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Этап 4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x + 2$

Этап 4.6

Запишем $4 x^{3} + 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{5}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2))$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} + (- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Этап 6

Развернем $(- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.6

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.7

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 1 \cdot 2))$

Этап 7.8

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2))$

Этап 8

Объединим противоположные члены в $- 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + 0 + x + 2))$

Этап 8.2

Добавим $- 4 x^{3} - 4 x$ и $0$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + x + 2))$

Этап 9

Добавим $- 4 x$ и $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Этап 10

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x^{2} \cdot - 1 (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$

Этап 11

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- (3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Этап 12

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$