Алгебра Примеры

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Этап 2

Перепишем $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ в виде $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Этап 3

Развернем $\ln (2^{2 + x})$ , вынося $2 + x$ из логарифма.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Этап 4

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ в виде $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Этап 6

Перепишем $\ln (\frac{2}{3})$ в виде $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Этап 7

Развернем $\ln (6^{3 x - 1})$ , вынося $3 x - 1$ из логарифма.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Этап 8.1.2

Перенесем $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Этап 8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Этап 8.2.2.2

Перепишем $- 1 \ln (6)$ в виде $- \ln (6)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Этап 8.2.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Этап 8.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Этап 8.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Этап 8.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Этап 8.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 8.2.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Этап 8.2.4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Упростим $3 \ln (6)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Этап 8.4.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Этап 8.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 8.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Этап 8.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Этап 8.7.2

Умножим $4$ на $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Этап 8.8

Вычтем $\ln (36)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Этап 8.9

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Этап 8.9.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Этап 8.9.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (216)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Этап 8.9.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Этап 8.9.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Этап 8.10

Перепишем $- 1 \ln (216)$ в виде $- \ln (216)$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Этап 8.11

Разделим каждый член $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ на $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Разделим каждый член $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ на $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Этап 8.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Этап 8.11.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Этап 8.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Десятичная форма:

$x = 1$